Фигуры и их площади
Треугольник
Может быть задан:
1. Длинами сторон a, b, c.
2. Координатами вершин (хА,уА), (хB,уB), (хC,уC).
1. Длинами сторон a, b, c.
2. Координатами вершин (хА,уА), (хB,уB), (хC,уC).
Длину стороны треугольника можно найти как расстояние между двумя точками.
Расстояние между точками М1(х1,у1) и М2(х2,у2) на плоскости определяется по формуле:
Признак существования треугольника: сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны:
c<a+b, a<c+b, b<a+c, где a, b, c – стороны треугольника.
Виды треугольников
1. По сторонам:
равносторонний ( a=b=c);
равнобедренный( равны две стороны треугольника);
разносторонний (стороны не равны).
2. По углам:
Прямоугольный (с2=a2+b2, c - большая сторона треугольника);
Тупоугольный (с2>a2+b2 , если c - большая сторона треугольника);
Остроугольный (с2<a2+b2, c - большая сторона треугольника).
Площадь треугольника
1. Формула Герона
, a, b, c – стороны треугольника, p=(a+b+c)/2 – полупериметр.
Примечание: Такой метод вычисления площади имеет один существенный недостаток: необходимо выполнение операции нахождения квадратного корня из числа. При выполнении этой операции часто происходит потеря точности, что может привести к получению не совсем точного результата.
2. Для прямоугольного треугольника:
2. Для прямоугольного треугольника:
S=(ab)/2, a, b - катеты (стороны при прямом угле).
3. По стороне треугольника и проведенной к ней высоте:
S=ah/2, где a - сторона треугольника, h - высота, проведенная к этой стороне.
4. По двум сторонам и углу между ними:
S=0,5ab*sin A, где a, b - стороны треугольника и А - угол между ними.
Примечание: При вычислении синуса угла происходит потеря точности.
Задание 1. Даны три числа а, b, с. Определить, существует ли треугольник с такими длинами сторон. Если треугольник существует определить его вид и площадь.
Формат ввода:
В первой строке три числа
Формат вывода:
В первой строке ответ - существует или не существует
Во второй строке - вид треугольника
В третьей строке - площадь треугольника
В первой строке ответ - существует или не существует
Во второй строке - вид треугольника
В третьей строке - площадь треугольника
Тесты Посмотреть решение
Задание 2. Дан треугольник с вершинами (X1, Y1); (X2, Y2); (X3, Y3). Найти периметр треугольника.
Задание 2. Дан треугольник с вершинами (X1, Y1); (X2, Y2); (X3, Y3). Найти периметр треугольника.
Формат ввода:
В первой строке два числа - координата (х1;у1)
В первой строке два числа - координата (х1;у1)
Во второй строке два числа - координата (х2;у2)
В третьей строке два числа - координата (х3;у3)
В третьей строке два числа - координата (х3;у3)
Формат вывода:
В первой строке ответ - периметр треугольника
В первой строке ответ - периметр треугольника
Четырехугольник
Признак существования четырехугольника: длина одной из его сторон меньше, чем сумма длин трех остальных сторон: d<a+b+c, a<b+c+d, b<a+c+d, c<a+b+d, где a,b, c, d – стороны четырехугольника.Прямоугольник
Площадь прямоугольника
1. По координатам противоположных вершинБудем рассматривать прямоугольники, стороны которых параллельны осям координат. В этом случае прямоугольник может быть определен одной из своих диагоналей. Это значит, что пара точек на плоскости с координатами (х1; y1) и (х2; y2), соответствующая концам диагонали, однозначно определяет расположение и размер прямоугольника.
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:
где |х2— x1| —длина проекции прямоугольника на ось Ох (длина стороны, параллельной оси Ox), a |y2 — y1| — длина проекции прямоугольника на ось Оу (длина стороны, параллельной оси Оу).
2. По двум сторонам
S=a*b, a, b - стороны прямоугольника, (S=a* a – площадь квадрата, а – сторона квадрата)
Трапеция
1. По координатам боковой стороны
Будем рассматривать трапеции, основания которых параллельны оси Оу, одна из боковых сторон лежит на оси Ох, а другая расположена выше оси Ох.
В этом случае трапеция может быть определена парой точек (х1; y1) и (х2; y2), соответствующих вершинам трапеции, не лежащим на оси Ох.
Площадь трапеции находим по формуле
где |х2-х1| – высота трапеции, а у2 и у1 – длины ее оснований.
2. По основаниям и высоте
S=h* (a+b)/2, где a, b – основания трапеции, h - высота трапеции.
Задание 3. Даны четыре числа а, b, с, d. Определить, существует ли четырехугольник с такими длинами сторон. Если существует, найти его периметр.
Формат ввода:
В первой строке четыре числа - стороны четырехугольника
Формат вывода:
В первой строке ответ - существует или не существует
Во второй строке - периметр
Тесты Посмотреть решение
Задание 4. Дан прямоугольник, заданный двумя противоположными вершинами (X1, Y1); (X2, Y2) и точка (X, Y). Определить площадь прямоугольника. Cтороны прямоугольника параллельны осям координат. Определить положение точки с координатами (Х, Y) - внутри или снаружи прямоугольника.
Формат ввода:
В первой строке два числа - координата (х1;у1)
Во второй строке два числа - координата (х2;у2)
В третьей строке два числа - координата (х;у)
Формат вывода:
В первой строке ответ - площадь
Во второй строке - положение точки
Тесты Посмотреть решение
2. Трапеция задана координатами своих вершин: (х1;у1), (х2;у2), (х3;у3), (х4;у4). Определить площадь трапеции.
Круг
Площадь круга
S=Пи*R2, R- радиус окружности, Пи = 3,14 – постоянная величина.
Уравнение окружности
R2=(x-x0)2+(y-y0)2 - центр (х0;у0) и радиус R
х2+у2=R2 – уравнение окружности с центром в начале координат
Длина окружности
C= 2*Пи*R
Задание 5. Найти взаимное расположение окружности радиуса R с центром в точке (х0; у0) и точки А с координатами (x1;y1).
Формат ввода:
В первой строке два числа - координаты (х0;у0)
Задание 6. Определить количество точек с целочисленными координатами, лежащих внутри окружности радиуса R с центром в точке (х0; у0).
Формат ввода:
В первой строке два числа - координаты (х0;у0)
Будем рассматривать трапеции, основания которых параллельны оси Оу, одна из боковых сторон лежит на оси Ох, а другая расположена выше оси Ох.
В этом случае трапеция может быть определена парой точек (х1; y1) и (х2; y2), соответствующих вершинам трапеции, не лежащим на оси Ох.
Площадь трапеции находим по формуле
где |х2-х1| – высота трапеции, а у2 и у1 – длины ее оснований.
2. По основаниям и высоте
S=h* (a+b)/2, где a, b – основания трапеции, h - высота трапеции.
Задание 3. Даны четыре числа а, b, с, d. Определить, существует ли четырехугольник с такими длинами сторон. Если существует, найти его периметр.
Формат ввода:
В первой строке четыре числа - стороны четырехугольника
Формат вывода:
В первой строке ответ - существует или не существует
Во второй строке - периметр
Тесты Посмотреть решение
Задание 4. Дан прямоугольник, заданный двумя противоположными вершинами (X1, Y1); (X2, Y2) и точка (X, Y). Определить площадь прямоугольника. Cтороны прямоугольника параллельны осям координат. Определить положение точки с координатами (Х, Y) - внутри или снаружи прямоугольника.
Формат ввода:
В первой строке два числа - координата (х1;у1)
Во второй строке два числа - координата (х2;у2)
В третьей строке два числа - координата (х;у)
Формат вывода:
В первой строке ответ - площадь
Во второй строке - положение точки
Тесты Посмотреть решение
Экспериментальный раздел
1. Прямоугольник задан координатами своих вершин: (х1;у1), (х2;у2), (х3;у3), (х4;у4). Определить площадь прямоугольника.2. Трапеция задана координатами своих вершин: (х1;у1), (х2;у2), (х3;у3), (х4;у4). Определить площадь трапеции.
Круг
Площадь круга
S=Пи*R2, R- радиус окружности, Пи = 3,14 – постоянная величина.
Уравнение окружности
R2=(x-x0)2+(y-y0)2 - центр (х0;у0) и радиус R
х2+у2=R2 – уравнение окружности с центром в начале координат
Длина окружности
C= 2*Пи*R
Задание 5. Найти взаимное расположение окружности радиуса R с центром в точке (х0; у0) и точки А с координатами (x1;y1).
Формат ввода:
В первой строке два числа - координаты (х0;у0)
Во второй строке два числа - координаты (х1;у1)
В третьей строке число - радиус окружности
В третьей строке число - радиус окружности
Формат вывода:
В первой строке ответ - внутри, снаружи или на окружности
В первой строке ответ - внутри, снаружи или на окружности
Задание 6. Определить количество точек с целочисленными координатами, лежащих внутри окружности радиуса R с центром в точке (х0; у0).
Формат ввода:
В первой строке два числа - координаты (х0;у0)
Во второй строке число - радиус окружности
Формат вывода:
В первой строке ответ - количество точек с целочисленными координатами, которые лежат внутри окружности
В первой строке ответ - количество точек с целочисленными координатами, которые лежат внутри окружности
Экспериментальный раздел
1. Найти координаты точек пересечения двух окружностей радиусов R1 и R2 с центрами в точках (х1, у1) и (x2,y2) соответственно.Формат ввода:
В первой строке два числа - координаты (х1;у1)
Во второй строке два числа - координаты (х2;у2)
В третьей строке число - R1
В четвертой строке число - R2
Формат вывода:
В первой строке ответ - пересекаются или не пересекаются
Во второй строке - координаты точек пересечения
Во второй строке - координаты точек пересечения
Задания для самостоятельного решения
1. Даны три точки с координатами (х1; у1), (х2, у2), (х3, у3), которые являются вершинами некоторого прямоугольника. Найти координаты четвертой вершины.
2. Даны координаты вершин четырехугольника (х1, у1), (х2; у2), (х3; у3), (х4; у4). Определить, является ли четырехугольник: а) ромбом; б) квадратом; в) прямоугольник.
3. Даны координаты двух вершин (x1;y1) и (x2,y2) некоторого квадрата. Найти возможные координаты других его вершин.
4. Найти взаимное расположение двух окружностей радиуса R1, и R2 с центрами в точках (х1, у1,) и (х2; у2) соответственно.
