Страницы

Уроки 59,60 Задачи с геометрическим смыслом

Задание 1. Принадлежит ли точка плоскости A отрезку с конечными точками B и C?

Входные данные
Входной файл INPUT.TXT содержит пять  вещественных чисел: x1, y1, x2, y2, x, y. Эти числа не превосходят 103 по абсолютной величине.

Выходные данные
В выходной файл OUTPUT.TXT выведите “true” или “false”.

Примеры
INPUT.TXT
OUTPUT.TXT
1
1  2 1 -2 1 0
true
2
3 2 1 -3 2 1
false


Задание 2. Дан круг (X0, Y0, R) и точка (X, Y), где X0, Y0, R, X, Y - вещественные числа. Определить, лежит ли эта точка внутри данного круга.

Входные данные
Входной файл INPUT.TXT содержит пять  вещественных чисел: x0, y0, R, x, y. Эти числа не превосходят 103 по абсолютной величине.
Выходные данные
В выходной файл OUTPUT.TXT выведите “true” или “false”.

Примеры
INPUT.TXT
OUTPUT.TXT
1
0  0  1  0.5  0.5
true
2
 0  2  4  -2
false

Примечание: уравнение окружности с началом в точке х0, у0 радиусом R: (х-х0)2+(у-у0)2=R2.

Задание 3. Дан прямоугольник, заданный двумя противоположными вершинами (X1, Y1); (X2, Y2) и точка (X, Y). Все Xi, Yi - вещественные числа.  Определить, лежит ли эта точка внутри данного прямоугольника.

Входные данные
Входной файл INPUT.TXT содержит шесть  вещественных чисел: x1, y1, х2, у2, х, у. Эти числа не превосходят 103 по абсолютной величине.

Выходные данные
В выходной файл OUTPUT.TXT выведите “true” или “false”.

Примеры
INPUT.TXT
OUTPUT.TXT
1
1  1  7  4  4  2
true
2
2  3  -2  -2  5  -1
false


Задание 4. Дан треугольник с вершинами (X1, Y1); (X2, Y2); (X3, Y3) и точка (X, Y). Все Xi, Yi - вещественные числа.
Определить, лежит ли эта точка внутри данного треугольника.

Входные данные
Входной файл INPUT.TXT содержит восемь  вещественных чисел: x1, y1, х2, у2, x3, y3, х, у. Эти числа не превосходят 103 по абсолютной величине.

Выходные данные
В выходной файл OUTPUT.TXT выведите “true” или “false”.

Примеры
INPUT.TXT
OUTPUT.TXT
1
0  0  3  0  0  3  1  1
true
2
 1  1  4  -2  2  -2   -3
false

Примечание: Чтобы определить, лежит ли точка внутри треугольника, можно соединить эту точку отрезками с его вершинами и рассчитать площади получившихся треугольников. Если сумма вычисленных площадей равна площади исходной фигуры, то точка лежит внутри, если нет  - снаружи.
Формула расчета площади треугольника по координатам его вершин: 
 



Задание 5. Выпуклый многоугольник задан последовательностью координат своих вершин в порядке обхода: (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), . . . , (xn, yn). Вычислить площадь многоугольника.

Входные данные
Входной файл INPUT.TXT содержит n+1 строку:
в первой строке  n - число вершин,
во второй строке  x1, y1, 
в третьей строке х2, у2, 
...
Эти числа не превосходят 103 по абсолютной величине.

Выходные данные
В выходной файл OUTPUT.TXT выведите S - площадь многоугольника.

Примеры
INPUT.TXT
OUTPUT.TXT
1
4
0 1
2 1
1 -1
-1 -1 
4




Примечание: стандартный способ вычисления площади выпуклого многоугольника - разбиение исходного многоугольника на отдельные треугольники  с последующим вычислением площадей полученных треугольников и их суммированием. 

Задания для самостоятельного решения


1. Многоугольник на плоскости задается координатами своих N вершин в порядке обхода их по контуру по часовой стрелке (контур самопересечений не имеет). Для заданной точки Z(x,y) определить, принадлежит ли она стороне многоугольника или лежит внутри или вне его.

2. Отрезок на плоскости задается двумя не совпадающими концевыми точками X(x1,x2) и Y(y1,y2). Из точки Z(z1,z2) к прямой, содержащей отрезок [X,Y], проводится перпендикуляр P. Определить, попадает ли перпендикуляр P на отрезок [X,Y] или на его продолжение.